地心震波奇幻之旅 🌍

好的，各位同學們，我們準備上課囉！

今天我們要來一場「地心震波」的奇幻之旅！大家有沒有想過，當地震發生時，地底下到底發生了什麼事？我們是怎麼知道地球內部是什麼樣子？祕密武器就是「地震波」！

這些圖片就像是地球物理學家的藏寶圖，帶我們一步步解開大地的謎團。接下來，老師會帶大家看懂這些圖，你會發現，原來地球物理學也可以這麼有趣！

圖：透過地表探測與數據分析，揭開深埋地下的秘密——這就是地震波探勘的魅力！

第一站：認識我們的震波主角！

首先，我們來認識一下地震波這個大家族。想像一下，你在水池中央丟一顆石頭，水面上會產生一圈圈的漣漪，對吧？地震波就像是地球內部的漣漪，只是它更複雜，跑得更快！

主要分成兩大家族：

體波 (Body Waves)：他們是急先鋒，喜歡在地球「身體」內部到处跑。
表面波 (Surface Waves)：他們是跟屁蟲，主要沿著地球表面傳播，也是造成建築物搖晃的元凶！

讓我們來看看第一張圖：

這張圖很清楚地畫出了不同地震波的「舞步」。

體波 (Body Waves)

P波 (Compressional Wave - 壓縮波)：他是速度最快的，像個急驚風！他的傳播方式是「前後壓縮」，就像彈簧一樣。想像一下捷運上人擠人，後面的人一推，力量就一波波往前傳，這就是P波。所以地震發生時，你最先感覺到上下跳動一下，通常就是P波老大駕到！
S波 (Shear Wave - 剪切波)：他跑得比P波慢，是個優雅的舞者。他的舞步是「左右搖擺」，像繩子甩動一樣，上下或左右晃動。這種搖晃對建築物的破壞力很強！

表面波 (Surface Waves)

洛夫波 (Love Wave)：他跟S波有點像，也是左右晃動，但只在水平面上移動，像蛇一樣在地面上扭來扭去。
雷利波 (Rayleigh Wave)：他是最慢的，但也是最複雜的破壊王！他的舞步是「橢圓形滾動」，就像海浪一樣，讓地面上下前後滾動。你感覺到地面像在坐船一樣搖晃，就是雷利波的傑作。

重點筆記：P波最快，S波次之，表面波最慢。造成災害的主要是表面波！

第二站：科學家如何「聽」地球的聲音？

我們不可能鑽到地心去探險，那要怎麼知道地底下的祕密呢？很簡單，我們在地面上擺放很多超級敏感的「耳朵」——接收器 (Receivers)，來接收地震波的訊號。

這張圖就是我們進行地球物理探勘的基本設置。我們會用一個震源 (Source)，比如用可控的炸藥或重錘，在地面上「敲」一下，製造出人造的微小地震。然後，在不同距離擺上一排接收器，去記錄不同種類的地震波什麼時候抵達。

這就像什麼呢？想像一下，你在起點鳴槍，不同跑者（P波、S波、表面波）用不同的速度往前跑，我們在沿途設置好幾個碼錶（接收器），記錄他們分別在何時通過。有了這些時間紀錄，我們就能反推出跑道的狀況（地底下的構造）！

第三站：解讀地震波的「到貨通知單」

接收器收到的訊號，畫出來就叫做地震圖 (Seismic Trace)。讓我們來看看這張圖：

這張圖分成兩部分：(a) 部分畫出了震源和接收器的位置以及波的傳播路徑，(b) 部分就是這個接收器記錄到的地震圖。Y軸是傳播時間 (Travel Time)。

讓我們像看快遞APP一樣來解讀這個「到貨通知單」：

最先抵達 (叮咚！P波到了！)：P波速度最快，所以最先被記錄到。它的振幅（搖晃的幅度）通常比較小。
接著抵達 (叮咚！S波到了！)：S波緊隨其後，振幅通常比P波大一些。
最後的重量級包裹 (表面波登場！)：表面波（洛夫波和雷利波）走得最慢，所以最後才到。但你看他的振幅，是不是又大又持久？這就是為什麼地表搖晃最厲害的時候，通常是表面波造成的。

你還注意到表面波有個特點叫 "Dispersed" (頻散) 嗎？這意思是，不同頻率（可以想像成不同波長的波）的表面波，跑的速度還不一樣！通常低頻的跑得快，高頻的跑得慢。所以訊號會被拉得很長，像漂亮的紡錘形。

第四站：從點到線，看穿地底結構！

如果我們只放一個接收器，得到的資訊很有限。所以，地球物理學家會沿著一條測線，擺放好幾個，甚至成千上萬個接收器！把所有接收器的紀錄，按照跟震源的距離排排站，就得到下面這張超酷的圖：

這張圖的X軸是與震源的距離 (Distance)，Y軸是傳播時間 (Travel Time)。每一條垂直的線，都代表一個接收器的紀錄。

你發現了什麼規律嗎？

距離越遠，抵達時間越晚：這很合理吧！跑得越遠，當然要花越多時間。
P波、S波、R波形成漂亮的斜線：把每個接收器記錄到的P波抵達時間連起來，會形成一條斜線。這條斜線的斜率，其實就跟波速有關！斜率越小（線越陡），代表速度越快。你可以清楚看到，P波的線最陡，S波次之，R波（表面波）最平緩。
頻散現象更明顯：在表面波（R波）的區域，你可以看到波形被拉得很開，這就是前面提到的「頻散」。

透過分析這些線的斜率、形狀，科學家就能反推出地底下不同深度的岩層速度、厚度，甚至判斷那裡可能是什麼樣的岩石或地質構造。這就是我們不用鑽井，也能「看」透地球的方式！

第五站：從斜率到速度——解鎖地下的祕密

在上一站，我們提到P波的線最「陡」，代表速度最快。現在，我們要把它變成一個精確的數學公式！這也是地球物理學家最核心的技能之一。

我們從圖上定義了斜率，而速度正好是斜率的倒數。對於沿著地表傳播的直達波，它的走時 $T$ 和距離 $X$ 的關係非常簡單：

直達波走時 (Direct Wave Travel Time): $$ T(X) = \frac{X}{V_1} $$

這條公式告訴我們走時和距離是線性關係，因此在圖上是一條過原點的直線。而它的斜率，也就是 $dT/dX$，就等於 $1/V_1$。所以我們可以輕易地從中求出第一層的速度 $V_1$。

速度與斜率的關係 (Velocity vs. Slope): $$ V = \frac{1}{\text{Slope}} = \frac{1}{dT/dX} $$

進階探險：當地震波遇到不同岩層

當地震波從一個地層，傳到另一個速度更快的地層時，會發生折射 (Refraction)，這個行為遵守光學中著名的司乃耳定律。

司乃耳定律 (Snell's Law): $$ \frac{\sin\theta_1}{V_1} = \frac{\sin\theta_2}{V_2} $$

第六站：折射法的最終章 – 計算地層厚度

我們知道，產生折射法「抄捷徑」現象的必要條件是 $V_2 > V_1$。當入射角 $\theta_1$ 增加到一個特殊角度，使得折射角 $\theta_2$ 剛好等於 $90^\circ$ 時，我們稱這個入射角為臨界角 $\theta_c$。

臨界角 (Critical Angle): $$ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{V_1}{V_2}\right) $$

折射波的總傳播時間，是它在第一層走的兩段斜線路徑、加上在第二層介面水平路徑的時間總和。現在，就讓我們跟著下面的圖示與步驟，一步步推導出來吧！

公式解剖室：折射波走時推導

我們的目標是計算出折射波從震源到接收器，總共花了多少時間 $T(X)$。請隨時對照下方的路徑分解圖。

步驟 1：將總時間分解為三段

總時間 $T_t$ 是三段路徑時間的總和：$T_1$ (向下傳播) + $T_2$ (沿介面傳播) + $T_3$ (向上傳播)。

$$ T_t = T_1 + T_2 + T_3 $$

步驟 2：計算各段時間

時間 = 距離 / 速度。從圖中的幾何關係，我們可以得到：

$T_1$ 和 $T_3$ 的時間：這兩段路徑相同，長度為 $\frac{h}{\cos\theta_c}$，且都在速度為 $V_1$ 的第一層中傳播。

$$ T_1 = T_3 = \frac{h}{V_1 \cos\theta_c} $$

$T_2$ 的時間：這段路徑的水平長度，是總長度 $X$ 減去 $T_1$ 和 $T_3$ 在水平方向上的投影長度 ($h \tan\theta_c$)。它在速度為 $V_2$ 的第二層中傳播。

$$ T_2 = \frac{X - 2h \tan\theta_c}{V_2} $$

步驟 3：將各段時間相加

將上面得到的 $T_1$, $T_2$, $T_3$ 代入總時間公式中。

$$ T_t = \left(\frac{h}{V_1 \cos\theta_c}\right) + \left(\frac{X - 2h \tan\theta_c}{V_2}\right) + \left(\frac{h}{V_1 \cos\theta_c}\right) $$

整理一下，合併 $T_1$ 和 $T_3$，並把 $T_2$ 拆開：

$$ T_t = \frac{2h}{V_1 \cos\theta_c} + \frac{X}{V_2} - \frac{2h \tan\theta_c}{V_2} $$

步驟 4：代入三角函數與司乃耳定律

我們利用 $\tan\theta_c = \frac{\sin\theta_c}{\cos\theta_c}$，並將公式重新整理，提出公因式。

$$ T_t = \frac{2h}{V_1 \cos\theta_c} \left(1 - \frac{V_1}{V_2}\sin\theta_c\right) + \frac{X}{V_2} $$

接著，最關鍵的一步：使用臨界角的司乃耳定律 $\sin\theta_c = \frac{V_1}{V_2}$ 代入括號中。

$$ T_t = \frac{2h}{V_1 \cos\theta_c} (1 - \sin^2\theta_c) + \frac{X}{V_2} $$

步驟 5：最終化簡

我們都知道三角恆等式 $1 - \sin^2\theta_c = \cos^2\theta_c$。用它來替換括號中的內容。

$$ T_t = \frac{2h}{V_1 \cos\theta_c} (\cos^2\theta_c) + \frac{X}{V_2} $$

消掉一個 $\cos\theta_c$，就得到了我們最終的、漂亮的線性方程式！

$$ T_t = \frac{2h\cos\theta_c}{V_1} + \frac{X}{V_2} $$

這個最終公式告訴我們，折射波的走時圖是一條直線，斜率是 $1/V_2$，並且在Y軸上產生一個截距，我們稱為「截時 $t_i$」。

截時 (Intercept Time): $$ t_i = \frac{2h\cos\theta_c}{V_1} $$

這個截時 $t_i$ 的大小，就和第一層的厚度 $h$ 有關！

終極祕密：我們可以從圖上量到兩個斜率（得到 $V_1$ 和 $V_2$）和截時 $t_i$，再透過臨界角公式，就能反解出第一層的厚度 $h$。這就是折射法的威力！

第七站：另一位關鍵角色——反射波與雙曲線

另一部分的能量會像照鏡子一樣，從地層介面上反射 (Reflection) 回來。反射波的原理是：入射角等於反射角。

它的路徑是一個V形，總長度可以透過畢氏定理計算，最後得到的走時公式，描述了一條雙曲線。

當接收器就在震源正上方 (X=0) 時，所需要的時間最短，稱為雙程走時 $t_0$。

雙程走時 (Two-way Time): $$ t_0 = \frac{2h}{V_1} $$

隨著距離 $X$ 增加，走時 $T$ 會沿著雙曲線變化：

反射波走時 (Reflected Wave Travel Time): $$ T(X)^2 = t_0^2 + \left(\frac{X}{V_1}\right)^2 $$

地球物理學家非常喜歡這條雙曲線！因為只要分析這個曲線的形狀和 $t_0$ 的時間，就能非常精準地計算出上層波速 $V_1$ 和介面的深度 $h$。事實上，**地震反射法**是目前石油和天然氣探勘最主要、最精確的技術！

第八站：壓軸登場——什麼是視速度 (Apparent Velocity)？

我們在地面上觀測到波前「掃」過地表的水平速度，稱為視速度 $V_{ap}$，它就是走時曲線斜率的倒數。

視速度定義 (Apparent Velocity): $$ V_{ap} = \frac{\Delta X}{\Delta T} = \frac{1}{\text{Slope}} $$

關鍵洞見：最奇妙的是，經過數學證明，對於臨界折射波來說，它在地表掃過的視速度 $V_{ap}$，不多不少，正好就等於**下層介質的真實速度 $V_2$**！這就從物理上完美解釋了為什麼折射波那條線的斜率是 $1/V_2$。

臨界折射波的視速度: $$ V_{ap} = V_2 $$

總結與展望

我們的地心震波奇幻之旅即將告一段落！今天我們不僅深入拆解了折射波和反射波的數學細節，更學會了如何從它們的走時曲線中，像偵探一樣分析出地層的速度和厚度。

我們認識了關鍵的臨界角，也理解了反射波優美的雙曲線是怎麼來的。最後，我們還揭開了「視速度」的神秘面紗，讓我們對這些圖表斜率的物理意義有了更透徹的了解。

這兩種強大的工具，就是地球物理學家能夠在不開挖的情況下，繪製出地球內部結構圖的祕密武器。從尋找石油、礦產，到評估工程場址的安全性，都離不開它們。

希望這趟旅程讓你對腳下的地球充滿了更多的好奇心！我們的探險還會繼續！